ในแคลคูลัสของฟังก์ชันเดียว อินทิกรัลจำกัดเขต $\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$ จับภาพพื้นที่สุทธิใต้เส้นโค้ง เมื่อเราเข้าสู่มิติที่สาม เราจะขยายตรรกะนี้เพื่อหา ปริมาตร ใต้ผิวหน้า $z = f(x, y)$
1. นิยามอย่างเป็นทางการ
เราสามารถนิยามอินทิกรัลสองชั้นของฟังก์ชัน $f$ บนสี่เหลี่ยมปิด $R = [a, b] \times [c, d]$ เป็นผลรวมแบบรีมานสองชั้นในลักษณะขอบเขต:
$$\iint_R f(x, y) \, dA = \lim_{m, n \to \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*) \Delta A$$
โดยที่ $\Delta A = \Delta x \Delta y$ คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมย่อย $R_{ij}$ และ $(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$ คือจุดตัวอย่างใดๆ ภายใน $R_{ij}$
1. การแบ่งพื้นที่เชิงเรขาคณิต: แบ่ง $R$ ออกเป็นสี่เหลี่ยมย่อย $m \times n$ หรือ $R_{ij}$ โดยที่ $x_i = a + i\Delta x$ และ $y_j = c + j\Delta y$
2. การประมาณปริมาตรของทรงกลม: สำหรับแต่ละ $R_{ij}$ สร้างหลักที่มีความสูง $f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$ ปริมาตร $V$ ของทรงกลม $S$ จะถูกประมาณด้วย $V \approx \sum \sum f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \Delta A$
3. ข้อจำกัด: เมื่อตาข่ายกลายเป็นละเอียดไม่สิ้นสุด ($m, n \to \infty$) การประมาณจะเข้าใกล้ค่าปริมาตรที่แท้จริง
2. ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
เหมือนกับค่าความสูงเฉลี่ยในมิติเดียวของเส้นโค้งคือ $\frac{1}{b-a}\int f(x)dx$ ค่าเฉลี่ยของผิวหน้า $z=f(x,y)$ ในบริเวณ $R$ คือ:
$$f_{ave} = \frac{1}{A(R)} \iint_R f(x, y) \, dA$$
ค่านี้ $f_{ave}$ แทนความสูงของกล่องสี่เหลี่ยมเดี่ยวที่มีฐาน $R$ ซึ่งจะมีปริมาตรเท่ากับของแข็งซับซ้อนใต้ผิวนี้